نرم ماتریسی

نرم ماتریسی
سعید زارع saeedzare887@gmail.com
کارشناسی دانشگاه پیام نور شیراز گروه ریاضیات و کاربرد ها ، شیراز _ ایران

خلاصه :
نرم یا هنج (norm) در ریاضی و رشته های مرتبط با آن در مواردی استفاده میشود که عناصر به مقادیر مثبت محدود باشند. تابع حقیقی ||•|| تعریف شده بر فضای برداری X را نرم می نامیم.
در ریاضیات و محاسبات عددی ، وقتی بخواهند اندازه ی یک بردار (vector) یا ماتریس (matrix) را محاسبه کنند از عبارت نرم یا همان norm استفاده میکنند .
نرم ماتریسی یکی از مفاهیم مهم در جبر خطی است که برای اندازه گیری "اندازه" یک ماتریس استفاده می شود. در واقع، نرم ماتریسی یک عدد حقیقی است که به ازای هر ماتریس مربعی، تعریف می شود.

کلمات کلیدی : نرم ماتریسی ، ماتریس ، جبر خطی عددی ، نرم فروبنیوس

مقدمه :
برای ماتریس A با ابعاد n×n، نرم ماتریسی به شکل زیر تعریف می شود:

||A|| = max{ ||A x|| / ||x|| }

در اینجا، x یک بردار غیرصفر با ابعاد n×1 است و ||x|| نشان دهنده ی نرم اقلیدسی بردار x است، به صورت زیر تعریف می شود:

||x|| = sqrt( x₁² + x₂² + ... + xn² )

به عبارت دیگر، نرم ماتریسی برابر با بیشترین اندازه ی تغییری است که ماتریس A می تواند به بردارهای ورودی بدهد، نسبت به اندازه ی این بردارها.

به طور کلی ؛ نرم (Norm) یکی از مفاهیم ریاضی است که کاربرد مهمی در زمینه های مختلف علوم و مهندسی دارد. یکی از کاربردهای مهم نرم در یادگیری ماشین و یادگیری عمیق است. نرم عموما برای ارزیابی خطای یک مدل مورد استفاده قرار می گیرد. علاوه بر این، نرم برای محاسبه خطای بین خروجی یک شبکه عصبی و آنچه مورد انتظار است (برچسب یا مقدار واقعی) نیز به کار می رود. نرم را می توان به عنوان طول یک بردار در نظر گرفت. این مفهوم، تابعی است که یک بردار را به یک مقدار مثبت می نگارد. از توابع مختلفی برای این نگاشت استفاده می شود که در ادامه، چند مورد از آن ها را بیان خواهیم کرد.
نرم تابعی است که مشخصه های زیر را دارد:

نرم ها مقادیری نامنفی هستند. اگر نرم ها را به عنوان طول در نظر بگیریم، می توان به سادگی دید که چرا نمی توانند منفی شوند.

نرم ها صفر هستند، اگر و فقط اگر بردار صفر باشد.

نرم ها از نامساوی مثلثی تبعیت می کنند.

نرم یک بردار ضرب در یک اسکالر، برابر با ضرب قدر مطلق این اسکالر در نرم بردار است: ||k⋅u||=|k|⋅||u||||k⋅u||=|k|⋅||u||

نرم xx را معمولا با نماد ||x||||x|| نشان می دهند.

اما نامساوی مثلثی چیست؟ نامساوی مثلثی بیان می کند که نرم مجموع چند بردار، کوچک تر یا مساوی با مجموع نرم های این بردارها است.

||u+v||≤||u||+||v||

نرم ماتریسی به عنوان یکی از مفاهیم مهم در جبر خطی و کاربردهای آن در حل مسائل خطی، به عنوان مثال در مهندسی، فیزیک، علوم کامپیوتر و ... بسیار مفید است.نرم ماتریسی به عنوان یکی از مفاهیم مهم در جبر خطی، در بسیاری از حوزه های ریاضی، علوم کامپیوتر و مهندسی کاربرد دارد. در زیر به برخی از کاربردهای این مفهوم اشاره می شود:

1. حل سیستم معادلات خطی: در بسیاری از مسائل مهندسی و علوم کامپیوتر، باید سیستم هایی از معادلات خطی را حل کرد. نرم ماتریسی به عنوان یکی از ابزارهای اصلی در حل این مسائل، استفاده می شود.

2. تحلیل داده های عددی: در علوم داده ای، بسیاری از مسائل به تحلیل داده های عددی برمی گردد. نرم ماتریسی به عنوان یکی از ابزارهای اصلی در این حوزه، به کنترل ابعاد داده ها و کاهش پیچیدگی محاسباتی کمک می کند.

3. تحلیل طیفی: نرم ماتریسی در تحلیل طیفی مسائل مرتبط با شبیه سازی سیستم های فیزیکی، شیمیایی و ... استفاده می شود. در این حوزه، نرم ماتریسی به عنوان یکی از ابزارهای اصلی برای تحلیل طیفی سیستم ها، به کار می رود.

4. گرافیک کامپیوتری: در گرافیک کامپیوتری، نرم ماتریسی به عنوان یکی از ابزارهای اصلی در ترسیم شی ها و انتقال آنها به فضای سه بعدی، استفاده می شود.

5. شبکه های عصبی: در حوزه ی یادگیری عمیق و شبکه های عصبی، نرم ماتریسی به عنوان یکی از ابزارهای اصلی برای پردازش داده های ورودی و انجام عملیات های ماتریسی، به کار می رود.

آیا نرم ماتریسی برای ماتریس های غیر مربعی نیز تعریف شده است؟

به طور کلی، نرم ماتریسی به عنوان یکی از مفاهیم اساسی در جبر خطی، در بسیاری از حوزه های ریاضی، علوم کامپیوتر و مهندسی به کار می رود و در حل مسائل پیچیده و محاسباتی، از اهمیت ویژه ای برخوردار است نرم ماتریسی به طور کلی برای ماتریس هایی با ابعاد بیش از 1x1 تعریف می شود، اما برای ماتریس های غیر مربعی، تعریف نرم ماتریسی به صورت مستقیم به کار نمی آید و باید با تعریف خاصی مواجه شد.

یکی از روش های تعریف نرم ماتریسی برای ماتریس های غیر مربعی، استفاده از "نرم فروبنیوس" است. در این روش، برای ماتریس A با ابعاد m × n، نرم فروبنیوس به صورت زیر تعریف می شود:

||A||F = sqrt( ∑ᵢ₌₁ᵐ ∑ⱼ₌₁ⁿ |aᵢⱼ|² )

در اینجا، aᵢⱼ نشان دهنده ی عنصر i-ام و j-ام ماتریس A است. به عبارت دیگر، نرم فروبنیوس برابر با جمع مجموع مربعات تمام عناصر ماتریس A است.

استفاده از نرم فروبنیوس به عنوان نرم ماتریسی برای ماتریس های غیر مربعی، در بسیاری از مسائل محاسباتی، مانند کاهش ابعاد داده ها، تحلیل عاملی، رده بندی و ...، استفاده می شود.برای محاسبه ی نرم ماتریسی، می توان از روش های مختلفی استفاده کرد. در ادامه، دو روش محاسبه ی نرم ماتریسی را شرح خواهیم داد:

1. روش محاسبه ی نرم ماتریسی با استفاده از روش توان بیشینه (Power Method):
در این روش، با شروع از یک بردار تصادفی، برای ماتریس مورد نظر، بردارها را با استفاده از ضرب ماتریسی به روزرسانی می کنیم. به این صورت که با ضرب ماتریس مورد نظر در بردار اولیه، یک بردار جدید به دست می آوریم، سپس این بردار جدید را با تقسیم بر اندازه ی خود به روزرسانی می کنیم. این فرآیند را بارها تکرار کرده و به مرور، بردارهای به دست آمده به برداری همگرا می شوند که به طور معمول، بردار ویژه ی متناظر با بیشترین مقدار ویژه ی ماتریس هستند. نرم ماتریسی برابر با مقدار مطلق بیشترین مقدار ویژه ی ماتریس است.

2. روش محاسبه ی نرم ماتریسی با استفاده از روش تجزیه مقادیر ویژه (Eigenvalue Decomposition):
در این روش، ابتدا ماتریس مورد نظر را به شکل تجزیه مقادیر ویژه ی خودش با استفاده از الگوریتم های مناسب، مانند الگوریتم QR، تجزیه می کنیم. سپس با داشتن مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ی ماتریس، می توان نرم ماتریسی را به راحتی محاسبه کرد. به طور دقیق تر، نرم ماتریسی برابر با جمع مطلق مقادیر ویژه ی ماتریس است.

در هر دو روش بالا، برای به دست آوردن نرم ماتریسی، می توان از الگوریتم هایی مانند الگوریتم توان بیشینه یا الگوریتم تجزیه مقادیر ویژه استفاده کرد.

در این مقاله به دو سوال اساسی میپردازیم ؛
1_آیا نرم ماتریسی ، همیشه مثبت است ؟
بله، نرم ماتریسی همیشه مثبت است. به عبارت دیگر، برای هر ماتریس مربعی A، نرم ماتریسی آن همواره به صورت یک عدد حقیقی مثبت تعریف می شود و هرگز منفی نمی شود.

نرم ماتریسی معادل بیشترین اندازه ی تغییری است که ماتریس مورد نظر می تواند به بردارهای ورودی بدهد، نسبت به اندازه ی خود این بردارها. با توجه به این تعریف، نرم ماتریسی همیشه مثبت است زیرا هیچگاه نمی توانیم یک مقدار منفی برای اندازه ی تغییری ماتریس نسبت به بردارهای ورودی، داشته باشیم.

در نتیجه، برای هر ماتریس مربعی A، نرم ماتریسی آن همیشه مثبت است و این خصوصیت مهمی است که در بسیاری از مسائل علوم کامپیوتر، مهندسی، ریاضیات و ... به کار می رود.

2_ آیا نرم ماتریسی میتواند برابر صفر شود ؟
بله، نرم ماتریسی می تواند برابر با صفر باشد، اما در این صورت، ماتریس مربعی متناظر با آن باید صفر باشد.

برای فهم بهتر این موضوع، به تعریف نرم ماتریسی نیاز داریم. برای ماتریس مربعی A با ابعاد n × n، نرم ماتریسی به شکل زیر تعریف می شود:

||A|| = max{ ||A x|| / ||x|| }

در اینجا، x یک بردار غیرصفر با ابعاد n × 1 است و ||x|| نشان دهنده ی نرم اقلیدسی بردار x است، به صورت زیر تعریف می شود:

||x|| = sqrt( x₁² + x₂² + ... + xn² )

اگر نرم ماتریسی برابر با صفر باشد، به این معنی است که برای هر بردار غیرصفر x، ||A x|| / ||x|| باید صفر باشد. با توجه به تعریف نرم بردار، این به این معنی است که برای هر بردار غیرصفر x، ماتریس A x باید صفر باشد. با توجه به اینکه x بردار غیرصفر است، ماتریس A باید همه ی سطرهای خود را با صفر پر کرده باشد تا بتوانیم این شرط را برقرار کنیم. بنابراین، اگر نرم ماتریسی برابر با صفر باشد، ماتریس مربعی متناظر با آن باید صفر باشد.

در نتیجه، نرم ماتریسی می تواند برابر با صفر باشد، اما در این صورت، ماتریس مربعی متناظر با آن باید صفر باشد.
نتیجه گیری :
به طور کلی ؛ نرم (Norm) یکی از مفاهیم ریاضی است که کاربرد مهمی در زمینه های مختلف علوم و مهندسی دارد. یکی از کاربردهای مهم نرم در یادگیری ماشین و یادگیری عمیق است. نرم عموما برای ارزیابی خطای یک مدل مورد استفاده قرار می گیرد. علاوه بر این، نرم برای محاسبه خطای بین خروجی یک شبکه عصبی و آنچه مورد انتظار است (برچسب یا مقدار واقعی) نیز به کار می رود. نرم را می توان به عنوان طول یک بردار در نظر گرفت. این مفهوم، تابعی است که یک بردار را به یک مقدار مثبت می نگارد. از توابع مختلفی برای این نگاشت استفاده می شود

منابع :
علی پرانتز، کارلامبوس دی.؛ بورکین شاو، اون (۱۳۸۶). اصول آنالیز حقیقی. ترجمه علی اکبر عالم زاده. تهران: آینده دیگر. شابک ۹۶۴-۸۸۷۹-۲۰-۶.

اتکینسن، کندال ای. (۱۳۸۷). آشنایی با آنالیز عددی. ترجمه علی دانایی. تهران: مرکز نشر دانشگاهی. شابک ۹۷۸-۹۶۴-۰۱-۱۲۹۳-۹.